从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier transform）是信号处理中的核心概念之一。它将时间域（如音频）或空间域（如图像）信号转换为频率域，极大地方便了后续的信号处理操作。本文从周期函数的傅里叶级数入手，详细推导了傅里叶级数的复数表示形式，并进一步讨论了非周期函数的傅里叶变换。希望通过这篇文章，能够帮助大家更好地理解傅里叶变换的原理及其应用。

1. 三角函数的正交性

若$f(t),g(t)$ 在区间$[a,b]$ 上有定义，且

$$ \begin{equation} \int_{a}^{b} f(t)g(t) \mathrm{~d}t = 0. \end{equation} $$

则称$f(t),g(t)$ 在区间$[a,b]$上正交。

三角函数集合有：$\{1,\cos t,\sin t,\cos 2t, \sin 2t \dots \}$，在三角函数系中，任意一个三角函数在一个周期内积分为0。依据该性质我们来推到三角函数系中有哪些函数之间有正交性。

证明1. 1和$\cos n\omega_0t$ 正交$(n=1,2,3\dots )$ ：

由于正弦函数或余弦函数在一个周期（这个周期不一定是指最小正周期，也可以是最小正周期的整数倍）的积分为0得：

$$ \int^{\frac {T} {2}}_{-\frac {T} {2}} {1\cdot \cos{n{\omega }_{0}t}}\mathrm{~d}t=0. $$

证明2. 1和 $\sin n\omega_0t$ 正交$(n=1,2,3\dots )$：

由于正弦函数或余弦函数在一个周期（这个周期不一定是指最小正周期，也可以是最小正周期的整数倍）的积分为0得：

$$ \int^{\frac {T} {2}}_{-\frac {T} {2}} {1\cdot \sin {n{\omega }_{0}t}}\mathrm{~d}t=0. $$

证明3. $\cos n \omega_0 t$ 和 $\cos m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots, n \neq m)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos m\omega_0t\cos n\omega_0t\mathrm{~d}t=\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos{(m+n)\omega_0t}\mathrm{~d}t+\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos{(m-n)\omega_0t}\mathrm{~d}t\right]=0. $$

证明4. $\sin n \omega_0 t$ 和 $\sin m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots, n \neq m)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin m\omega_0t\sin n\omega_0t\mathrm{~d}t=-\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos\left(m+n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t-\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos\left(m-n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t\right]=0. $$

证明5. $\cos n \omega_0 t$ 和 $\sin m \omega_0 t$ 正交$(n,m=1,2,3,\dots)$：

$$ \int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin m\omega_0t\cos n\omega_0t\mathrm{~d}t=-\frac12\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin\left(m+n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t-\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin\left(m-n\right)\omega_0t\mathrm{~d}t\right]=0. $$

综上所述，三角函数系中这些三角函数之间具有正交性：

$$ \begin{equation} \begin{cases} &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mt \cdot \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos mt \cdot \cos nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots, n \neq m).\\[10pt] &\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin mt \cdot \sin nt \mathrm{~d}t = 0 \quad (n,m=1,2,3,\dots,n \neq m). \end{cases} \end{equation} $$

2. 周期函数的傅里叶级数展开

周期函数是满足 $f(t) = f(t+T)$ 的函数，其中函数 $T$ 为周期。任意一个周期$T$ 的函数 $f_T(t)$ 都可以展开成为不同频率的余弦函数的线性组合：

$$ \begin{equation} f_T(t) = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\cos (n \omega_0t+\varphi_n) \quad (n=1,2,3,\dots). \label{eq:8} \end{equation} $$

式\eqref{eq:8}称为周期函数的傅里叶级数。其中 $c_0$ 称为直流分量，$\displaystyle\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 为基频率，$\cos (n\omega_0)$ 则是不同频率的余弦函数。$c_n,(n=1,2,3,\dots)$ 为不同频率余弦分量的幅度。$\varphi_n$ 为相位。式\eqref{eq:8}也可以写成正弦形式：

$$ \begin{equation} f_T(t) = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\sin (n \omega_0t+\theta_n) \quad (n=1,2,3,\dots). \end{equation} $$

也可以写成正余弦形式：

$$ \begin{align} f_T(t) &= c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n\cos (n \omega_0t+\varphi_n) \notag \\ & = c_0 + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}c_n \cos(n\omega_0 t)\cos (\varphi_n) - c_n\sin(n\omega_0 t)\sin (\varphi_n) . \label{eq:10} \end{align} $$

令 $a_0 = c_0, a_n = c_n\cos (\varphi_n) , b_n = -c_n\sin (\varphi_n)$，可将式\eqref{eq:10}化简为：

$$ \begin{equation} f_T(t) = a_0 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t). \label{eq:11} \end{equation} $$

其中的 $a_0,a_n,b_n$ 可以使用积分求解得到。

对于 $a_0$，我们对\eqref{eq:11}两边在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} ]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \mathrm{~d}t + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} a_n\cos(n\omega_0 t)\mathrm{~d}t + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\mathrm{~d}t \notag\\ & = Ta_0 + 0 + 0. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对于 $a_n$，我们对式\eqref{eq:11}两边乘 $\cos (mt)$ 然后在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} ]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \! &=\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \cos(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\cos(mt) \mathrm{~d}t \notag \\ & = 0 + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_n\cos^2(n\omega_0 t) \mathrm{~d}t + 0 \notag \\ & = a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1 + \cos (2n\omega_0 t)}{2} \mathrm{~d}t \notag \\ & = \frac{T}{2} a_n. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对于 $b_n$，我们对式\eqref{eq:11}两边乘 $\sin (mt)$ 然后在区间 $\displaystyle[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}
]$ 求积分：

$$ \begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \! &=\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_0 \sin(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \!\!+\!\! \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum\limits_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin(n\omega_0 t)\sin(mt) \mathrm{~d}t \notag \\ & = 0 + 0 +\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} b_n\sin^2(n\omega_0 t) \mathrm{~d}t\notag \\ & = b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1-\cos^2(n\omega_0 t)\, \mathrm{~d}t \notag \\ & = b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1 - \cos (2n\omega_0 t)}{2} \mathrm{~d}t \notag \\ & = \frac{T}{2} b_n. \end{align} $$

则

$$ \begin{equation} b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

综上所述，周期函数的傅立叶级数可以表示为：

$$ \begin{equation} f_T(t) = a_0 \sum\limits_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t). \label{eq:18} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{cases} \displaystyle a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t.\\[10pt] \displaystyle a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(n\omega_0 t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t.\\[10pt] \displaystyle b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(n\omega_0 t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{cases} \end{equation} $$

3. 复数域傅立叶级数

通过欧拉公式我们可以将傅里叶级数转换到复数域。我们知道欧拉公式为：

$$ \begin{equation} {e}^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta } \label{eq:20} \end{equation} $$

由式\eqref{eq:20}我们可以推导出：

$$ \begin{equation} \begin{cases} \cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}}2\\ \\ \sin\theta=\dfrac{-i\left(\mathrm{e}^{i\theta}-\mathrm{e}^{-i\theta}\right)}2& \end{cases} \end{equation} $$

代入到式\eqref{eq:18}中，可得到：

$$ \begin{align} f_T(t)&=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\notag\\ &=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2+b_n\frac{-i\left(\mathrm{e}^{in\omega_0t}-\mathrm{e}^{-in\omega_0t}\right)}2\notag\\ &=\frac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac12(a_n-ib_n)\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac12(a_n+ib_n)\mathrm{e}^{-in\omega_0t} \end{align} $$

第三项用 $-n$ 替换 $n$,可得到：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2}(a_n - ib_n)\mathrm{e}^{in\omega_0 t}+\sum\limits_{n=-\infty}^{-1} \frac{1}{2}(a_{-n}+ ib_{-n})\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \end{equation} $$

该用新的系数符号可以得到：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}d_n\mathrm{e}^{in\omega_0 t} \end{equation} $$

其中，

$$ \begin{equation} d_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2}(a_{-n}+ib_{-n})&n<0\\[10pt] \dfrac{1}{2}a_0&n=0\\[10pt] \dfrac{1}{2}(a_n-ib_n)&n>0 \end{cases} \label{eq:19} \end{equation} $$

至此，我们导出了傅里叶级数的复指数形式。这种形式下基函数为复指数信号 $\mathrm{e}^{in\omega_0 t}$，系数 $d_n$ 也是一个复数。这种形式的傅里叶级数基函数形式只有一种，并且每个频率分量只有权重参数 $d_n$（因为 $d_n$ 是复数，因此实际上 同时包含了幅度和相位信息，只是形式上统一了）。

接下来我们求解式中不同情况下$d_n$的表达式。

当$n>0$ 时：

$$ \begin{align} d_n|_{n>0}&=\frac12(a_n-ib_n)\notag\\ &=\frac12\left\{\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\cos(n\omega_0t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t-i\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\sin(n\omega_0t)\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\notag\\ &=\frac12\left\{\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}+\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t-\frac2T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\frac{\mathrm{e}^{in\omega_0t}-\mathrm{e}^{-in\omega_0t}}2\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\notag\\ &=\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}\mathrm{e}^{-in\omega_0t}\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{align} $$

当$n=0$ 时：

$$ \begin{aligned} d_n|_{n=0}= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(t)\mathrm{~d}t = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \label{eq:21} \end{aligned} $$

当$n<0$ 时：

$$ \begin{aligned} d_n|_{n<0}&=\overline{d_{-n}} = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \label{eq:22} \end{aligned} $$

综上所述，无论$n$ 取何值，$d_n$ 都可以表示为：

$$ \begin{equation} d_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t. \end{equation} $$

对上面的推导做个总结，那就是：任意一个周期为$T$的实值函数$f_T(t)$都可以展开为以下傅里叶级数：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}d_n\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \label{eq:30} \end{equation} $$

其中，$\displaystyle\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 称为"基频率"，不同频率分量的权重 $\displaystyle d_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t$ 是一个同时包含了幅度和相位信息的复数。

将$d_n$ 的表达式代入式\eqref{eq:30}，得到周期函数$f_{T}(t)$的复指数形式傅里叶级数展开的完整表达式：

$$ \begin{equation} f_T(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left\{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f_T(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{in\omega_0 t}. \label{eq:31} \end{equation} $$

4. 傅里叶级数到傅里叶变换

由式\label{eq:31}可以看出表示的是周期性的傅立叶级数，那么非周期性的函数如何用傅立叶级数表示呢？非周期性可以看作是 $T\to \infty$ 的周期函数。当 $T\to \infty$ 时，周期函数 $f_{T}(t)$ 转变成非周期函数 $f(t)$，基频率 $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 趋于无穷小，近似于 $\mathrm{d}\omega$，这意味着离散的频率 $n\omega_0$ 将近似于角频率$\omega$（单位：rad/s）。

我们将 $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 代入上式中，并将求和转变为积分：

$$ \begin{align} f(t)&=\lim\limits_{T \to \infty}f_T(t)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left\{\frac{\omega_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-in\omega_0 t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{in\omega_0 t}\notag\\ & =\lim\limits_{\omega_0 \to 0}f_T(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i\omega t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t\right\}\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{~d}\omega \label{eq:32} \end{align} $$

式\eqref{eq:32}中，该部分称为"傅里叶变换"：

$$ \begin{equation} F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-i\omega t }\cdot f(t)\mathrm{~d}t \end{equation} $$

式\eqref{eq:32}中，该部分称为"傅里叶逆变换"：

$$ \begin{equation} f(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\cdot\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{~d}\omega \end{equation} $$