分数阶傅里叶变换定义的推导

傅里叶变换处理平稳信号、线性时不变系统。但是当信号出现时变、非平稳特性时，传统傅里叶变换难以处理。分数阶傅里叶变换开辟出时域、频域之间新的分数域，可以在这里分析非平稳信号和线性时变系统。传统傅里叶变换的基函数是正弦函数，而分数傅里叶变换的基函数是chirp函数。chirp是一个典型的非平稳信号。

横坐标为时间、纵坐标为频率。传统傅里叶变换相当于把信号旋转 $\pi/2$，而分数傅里叶变换可以旋转任意角度，是对传统傅里叶变换的一个拓展。

1. 傅里叶变换的定义

普通的傅里叶变换对定义为：

$$ \begin{equation} g(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-jut)dt \label{通常正变换定义} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)\exp(jut)du \label{通常逆变换定义} \end{equation} $$

傅里叶变换\eqref{通常正变换定义}可以写成算子形式：

$$ \mathscr{F}^{\pi/2}[f(t)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-jut)dt $$

傅里叶逆变换\eqref{通常逆变换定义}对应于算子：

$$ \mathscr{F}^{-\pi/2}[g(u)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)\exp(jut)du $$

其中，$t$ 表示时域的变量，$u$ 表示变换域的变量，积分核为 $\exp(-jut)$。

2. 傅里叶变换的特征函数形式

1929年 Wiener 提出 Hermit 多项式与傅里叶分析的关系[1]。这里介绍一下什么是 Hermit 多项式。任意函数 $f(t)$ 可以展开为 Hermit 多项式的加权和即：

$$ \begin{equation} f(t)=\sum\limits_0^\infty a_n\exp(-t^2/2)H_n(t) \label{Hermit多项式} \end{equation} $$

之所以可以表示，是因为 Hermit 多项式构成了一组完备的正交基，对于任意的函数必然可以被完备正交基进行表示。由 Hermite 多项式的正交性质可得到其系数 $a_n$，为:

$$ \begin{equation} a_n=\frac{1}{2^nn!\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(t)\exp(-t^2/2)f(t)dt \label{Hermit a_n} \end{equation} $$

1980年，Namias 从算子的角度给出了分数傅里叶变换的定义[2]，Namias 将分数阶傅里叶变换的特征函数定义为 Hermite-Gaussian 函数，即：

$$ \begin{equation} \mathscr{F}^{\pi/2}[\exp(-t^{2}/2)H_n(t)]=\mathrm{e}^{-jn\frac{\pi}{2}}\exp(-u^2/2)H_n(u) \label{FT特} \end{equation} $$

我们将式\eqref{FT特}的特征值一般化后，推广到分数域则可以得到分数阶傅里叶变换算子为：

$$ \begin{equation} \mathscr{F}^{\alpha}[\exp(-t^{2}/2)H_n(t)]=\mathrm{e}^{-jn\alpha}\exp(-u^2/2)H_n(u) \label{FRFT特} \end{equation} $$

其中，$\mathrm{exp}(-t^{2}/2)H_n(t)$ 是算子 $\mathscr{F}^{\alpha}$ 的特征函数，特征值为 $\mathrm{e}^{-jn\alpha}(\alpha=\frac{p\pi}{2})$。

3. 分数傅里叶变换的积分核表达形式

将式\eqref{Hermit多项式}带入到式\eqref{FRFT特}中得：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\mathscr{F}^{\alpha}\left[\sum\limits_0^\infty a_n\exp(-t^2/2)H_n(t)\right]=\sum\limits_0^\infty a_n\mathrm{e}^{-jn\alpha}\exp(-u^2/2)H_n(u) $$

将系数 $a_n$ 的值也代入：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\sum\limits_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-jn\alpha}}{2^nn!\sqrt{\pi}}H_n(t)H_n(u)\exp(-t^2/2)\exp(-u^2/2)f(t)dt $$

这里化简需要用到一个著名的公式 Mehler 公式[3]：

$$ \begin{equation} \sum\limits_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-jn\alpha}}{2^nn!\sqrt{\pi}}H_n(t)H_n(u)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}\exp\left[\frac{2tu\mathrm{e}^{-j\alpha}-\mathrm{e}^{-2j\alpha}(t^{2}+u^{2})}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right] \end{equation} $$

由 Mehler 公式得：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}\exp\left[\frac{2tu\mathrm{e}^{-j\alpha}-\mathrm{e}^{-2j\alpha}(t^{2}+u^{2})}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right]\exp(-t^2/2)\exp(-u^2/2)f(t)dt $$

至此，我们已经推导出了分数阶傅里叶变换的积分核表达式，但是由于这个积分核相对复杂，我们再进行进一步地简化。

首先我们先对系数进行化简：

$$ \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}=\sqrt{\frac{2}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}}=\sqrt{\frac{(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})+2-(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}}=\sqrt{\frac{1}{2\pi}+\frac{1+\mathrm{e}^{-2j\alpha}}{2\pi(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}} $$

使用欧拉公式：

$$ \begin{align} \frac{1+e^{-2j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}&=\frac{1+\cos2\alpha-j\sin2\alpha}{1-\cos2\alpha+j\sin2\alpha}=\frac{2\cos^{2}\alpha-2j\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^{2}\alpha+2j\sin\alpha\cos\alpha}\notag\\[10pt] &=\frac{\cos\alpha(\cos\alpha-2j\sin\alpha)}{\sin\alpha(\sin\alpha-2j\cos\alpha)}=-2j\cot\alpha \end{align} $$

则化简后的系数为：

$$ \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}}=\sqrt{\frac{1-2j\cot\alpha}{2\pi}} $$

接下来我们化简 $ut$ 项。

$$ \begin{align} \exp\left[\frac{2tue^{-j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}\right]&=\exp\left[2tu\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{2\sin^2\alpha+2j\sin\alpha\cos\alpha}\right]=\exp\left[tu\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{\sin\alpha(\sin\alpha+j\cos\alpha)}\right]\notag\\[10pt] &=\exp\left(\frac{tu}{\sin \alpha}\cdot\frac{\cos\alpha-j\sin\alpha}{\cos\alpha+j\sin\alpha}\right)=\exp\left(\frac{-jtu}{\sin\alpha}\right) \end{align} $$

最后我们来化简 $t^2$ 和 $u^2$ 项：

$$ \begin{align} \exp\left(\frac{\mathrm{e}^{-2j\alpha}t^{2}}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}\right)\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)&=\exp\left(\frac{\mathrm{e}^{-2j\alpha}t^{2}}{1-\mathrm{e}^{-2j\alpha}}-\frac{t^2}{2}\right)=\exp\left[\frac{2\mathrm{e}^{-2j\alpha}-(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}{2(1-\mathrm{e}^{-2j\alpha})}\cdot t^{2}\right]\notag \\[10pt] =&\exp\left(-\frac12\cdot\frac{1+e^{-2j\alpha}}{1-e^{-2j\alpha}}\right)=\exp\left(\frac{2j\cot\alpha}{2}t^2\right) \end{align} $$

化简的最终结果为：

$$ \mathscr{F}^{\alpha}\left[f(t)\right]=\sqrt{\frac{1-j\cot\alpha}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\frac{j\cot\alpha}{2}t^{2}+\frac{j\cot\alpha}{2}u^{2}-\frac{jtu}{\sin\alpha})f(t)dt $$

当 $\alpha=\pi/2$ 时，$\cot\alpha=0,\sin\alpha=1$，分数阶傅里叶变换可退化成普通傅里叶变换：

$$ \mathscr{F}^{\pi/2}\left[f(t)\right]=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-jtu)f(t)dt $$

参考文献

[1] Wiener N. Hermitian polynomials and Fourier analysis[J]. Journal of Mathematics and Physics, 1929, 8(1–4): 70–73.

[2] Namias V. The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics[J]. IMA Journal of Applied Mathematics, 1980, 25(3): 241–265.

[3] Weisstein, Eric W. "Mehler's Hermite Polynomial Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/MehlersHermitePolynomialFormula.html