华里士公式，不用说“华里士”当然是个外国人的名字，也有人管它叫“点火公式”，不管它叫什么名字，它也只是一个公式而已。这个公式考研是需要记忆的，辅助减少计算量。
1. 华里士公式的定义
$$ I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$
2. 华里士公式的推导证明
2.1 证明第一个的等式
法一：观察图像可知，正弦函数和余弦函数在 $\left[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]$ 积分相等
法二：使用区间再现公式推导
令 $\displaystyle t = \frac{\pi}{2} - x$，得：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x = -\int_{\frac\pi2}^{0}\sin^n\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\mathrm{~d}t = \int_0^{\frac\pi2}\cos^n t \mathrm{~d}t $$
由此我们证明出$\displaystyle I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x$.
2.2 证明第二个等式
$$ \begin{align} I_n &= \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x = -\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\mathrm{~d}\cos x\notag\\ & = -\sin^{n-1}x\cos x|^{\frac{\pi}{2}}_0 +\int_0^{\frac\pi2}\cos x\mathrm{~d}\left(\sin^{n-1}x\right)\notag\\ & = (n-1)\int_0^{\frac\pi2} \cos^2 x\cdot\sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\notag\\ & = (n-1)\int_0^{\frac\pi2} (1-\sin^2 x)\cdot\sin^{n-2}x\mathrm{~d}x\notag\\ & = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \end{align} $$
即
$$ \mathrm{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}} $$
则
$$ I_n = \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$
3. 华里士公式的推广
口诀：$n$ 为奇数看图像，$n$ 为偶数看倍数
$$ \int_0^{\pi}\sin^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3},&\text{n为奇数}\\ 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$
$$ \int_0^{\pi}\cos^nx\mathrm{~d}x= \begin{cases} 0,&\text{n为奇数}\\ 2\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$
$$ \int_0^{2\pi}\sin^nx\mathrm{~d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\mathrm{~d}x \begin{cases} 0,&\text{n为奇数}\\ 4\cdot\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2},&\text{n为偶数} \end{cases} $$
4. 来点小例题
题1：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}sin^7 \mathrm{~d}x.$
$$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^7 \mathrm{~d}x = 0 $$
题2：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^8 \mathrm{~d}x.$
$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\sin^8 \mathrm{~d}x = 6\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} $$
题3：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}cos^7 \mathrm{~d}x.$
$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^7 \mathrm{~d}x=2\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1 $$
题4：求解$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^8 \mathrm{~d}x.$
$$ \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{2}}\cos^8 \mathrm{~d}x=6\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} $$
看到这里大家应该对于考研信心满满了吧！见到类似的题目直接秒杀！！
